مساحة المثلث متساوي الساقين
المثلث متساوي الساقين هو مثلث يلتقي ضلعانه متساويان في الطول بزاوية حادة مع القاعدة (الضلع الثالث من المثلث)، حيث إن هذه الزاوية مقابلة تمامًا لمركز القاعدة، كما يمكنك التحقق من ذلك بنفسك باستخدام مسطرة وقلمين رصاص بنفس الطول، إذا حاولت إمالة المثلث في اتجاه معين، ستلاحظ أنه لا يمكنك توصيل طرفي القلمين، تسمح لك خصائص المثلث متساوي الساقين بحساب مساحته إذا كنت تعرف بعض المعلومات البسيطة، وفي هذا السياق سنتعرف إلى كيفية معرفة مساحة المثلث متساوي الساقين.
كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الساقين
يمكن تعريف المثلث متساوي الساقين من خلال خصائصها، حيث إنه مثلث له ضلعان متساويان على الأقل في الطول، كما يمكن معرف مساحة المثلث متساوي الساقين بواسطة سلسلة من القوانين كما يلي:
استخدام القانون العام
يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الساقين باستخدام القانون العام لمساحة المثلثات كالتالي:
- مساحة المثلث متساوي الساقين=1/2×القاعدة×الارتفاع
- القانون بالرموز: م= 1/2×ق×ع
- م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
- ق: طول قاعدة المثلث.
- ع: ارتفاع المثلث.
إذا عرفت طول قاعدة المثلث وطول أحد ضلعيه المتساويين، يمكنك إيجاد مساحة المثلث كما يلي:
- مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقين المتساويتين² – طول القاعدة²)/4
- القانون بالرموز: م= ق× الجذر التربيعي (4×ل² – ق²)/4
- م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
- ق: طول قاعدة المثلث.
- ل: طول أحد الضلعين المتساويين
إذا كنت تعرف طول قاعدة المثلث وقياس إحدى زوايا القاعدة، وقمت بقياس إحدى الزاويتين المتساويتين للقاعدة، فيمكنك معرفة المساحة على النحو التالي:
- مساحة المثلث متساوي الساقين = (طول القاعدة²× ظا (زاوية القاعدة))/ 4
- القانون بالرموز: م=(ب² × ظاθ) / 4
- م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
- ق: طول قاعدة المثلث.
- θ: قياس إحدى زاويتي القاعدة المتساويتين.
إذا عرفت طول أحد الضلعين المتساويين (ل) للمثلث وقياس زاوية الرأس للمثلث، فيمكنك معرفة المساحة كما يلي:
- مساحة المثلث متساوي الساقين= مربع طول إحدى الساقين المتساويين×جا (زاوية الرأس) /2
- القانون بالرموز: م =1/2×ل²×جاα
- م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
- ل: طول أحد الضلعين المتساويين
- α: قياس زاوية رأس المثلث.
ما هي خصائص المثلث متساوي الساقين؟
وهو مثلث متساوي الساقين له على الأقل ضلعان متساويان في الطول وزاويتان متساويتان في الحجم، حيث يعتبر المثلث القائم الزاوية ويكون قياس زواياه (°45-°45-°90) هو حالة خاصة لمثلث متساوي الساقين، ويسمى بمثلث متساوي الساقين قائم الزاوية.
تتميز المثلثات متساوية الساقين بالخصائص التالية زيادةً على الخصائص العامة للمثلثات:
- في المثلث متساوي الساقين، يكون ضلعان من أضلاعه الثلاثة متساويان في الطول، ويُسميان بساقي المثلث، كما يُسمى الضلع الثالث بقاعدة المثلث.
- الزاوية المقابلة لقاعدة المثلث المتساوي الساقين تسمى زاوية رأس المثلث.
- زاويتا المثلث متساوي الضلعين يجب أن يكونا متساويتان؛ وتسمى هذه الزوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين، أو زوايا متساوية الساقين، وتكون متساوية دائمًا.
- دائمًا يكون مجموع زوايا المثلث يساوي 180° درجة، لذلك يمكن معرفة قياس الزاوية الثالثة عن طريق معرفة قياسات الزاويتين المتساويتين.
- يتم تعريف ارتفاع المثلث على أنه المسافة الرأسية بين القاعدة ورأس المثلث، حيث يتميز ارتفاع المثلث بالخصائص التالية:
- الارتفاع ينصّف قاعدة المثلث ويشكل زاوية قائمة.
- الارتفاع يقسم زاوية رأس المثلث إلى نصفين متساويين.
- الارتفاع يقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين تمامًا.
القوانين الخاصة بالمثلث متساوي الساقين
يمكنك حساب طول الضلع الثالث للمثلث متساوي الساقين إذا كنت تعرف قياس الضلعين الآخرين، وبما أن الارتفاع عمودي على مركز القاعدة، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيم هذه الأبعاد. وفيما يلي كيفية القيام بذلك:
- حساب قاعدة المثلث: إذا كنت تعرف طول أحد الضلعين المتساويين (ل) وارتفاع المثلث (ع)، فيمكنك حساب قاعدة المثلث باستخدام المعادلة التالية: قاعدة المثلث = (مربع طول إحدى الساقين المتساويتين – مربع الارتفاع)√×2.
- المعادلة بالرموز: ق=(ل²-ع²)√×2.
- حساب طول أحد الضلعين المتساويين: يمكن إيجاد طول أحد الضلعين المتساويين (ل) إذا كان طول قاعدة المثلث (ب) وارتفاعها (ع) معروفين، باستخدام المعادلة التالية: طول إحدى ضلعي المثلث المتساويتين= (مربع الارتفاع + مربع نصف طول القاعدة)√
- المعادلة بالرموز: ل = (ع² + (ب/2)²)√.
حساب قياس الزوايا الداخلية:
يمكنك معرفة قياس جميع الزوايا في مثلث متساوي الساقين إذا كنت تعرف قياس زاوية واحدة فقط في المثلث، والمثالان التاليان يوضحان ذلك:
- مثال 1: مثلث متساوي الساقين قياس زاوية رأس المثلث 60 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟
- الحل:
- إن مجموع زوايا المثلث هي °180 درجة، فبالتالي 180° – 60° = 120°.
- كما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، حيث إن قيمة كل من زاويتي القاعدتين تساوي 120/2 = 105° درجة.
- الحل:
- مثال 1: مثلث متساوي الساقين قياس زاوية رأس المثلث 60 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟
- مثال 2: إذا كان قياس إحدى زوايا قاعدة المثلث متساوي الضلعين تساوي °45 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟
- الحل:
- زوايا قاعدة المثلث متساوية، وبذلك فإن قياس الزاوية الأخرى 45 درجة أيضاً.
- وأيضًا مجموع زوايا المثلث 180 درجة، وبذلك فإن قياس زاوية رأس المثلث يساوي (180 – 45-45) تساوي 90° درجة.
ملحوظة: المثلث متساوي الساقين هو مثلث قائم الزاوية يكون ضلعان متساويان فيه ضلعين لمثلث قائم الزاوية، وبذلك؛ يمثل أحد الضلعين قاعدة المثلث والضلع الآخر يمثل الارتفاع، بينما الضلع الثالث هو وتر المثلث القائم الزاوية، ومن ثَمّ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة قيمة كل ضلع من الأضلاع الثلاثة على النحو التالي:
الوتر² = (ل² + ل²)√ ومنه: الوتر=2 × ل²√= ل×2√، حيث: (ل)= طول أحد الضلعين المتساويين.
أمثلة توضيحية على خصائص المثلث متساوي الساقين
- مثال 1: مثلث أ ب جـ، فيه طول أب = أ جـ فإذا كان قياس الزاوية ب أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠أ ب جـ؟
- الحل:
- بما أن أ ب = أ جـ، فإن ∠أ ب جـ = ∠أ جـ ب؛ وطبقًا لخصائص المثلث متساوي الساقين
- ومجموع زوايا المثلث °180 فإن ∠أ ب جـ + ∠أ جـ ب + ∠ب أ جـ = 2∠أ ب جـ + ∠ب أ جـ = °180.
- إذًا؛ فإن 2∠أ ب جـ = °130، وبالقسمة على 2 فإن الزاوية أ ب جـ تساوي °65 درجة.
- الحل:
- مثال 2: مثلث أ ب جـ متساوي الساقين، فإذا كان قياس الزاوية أ ب جـ يساوي °40 درجة فما هي احتمالات قياس الزاوية ب أ جـ؟
- الحل:
- الاحتمال الأول: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب أ جـ ؛ أي أن: ب جـ = أ جـ؛ فإنه يمكن معرفة قياس الزاوية أ ب جـ مباشرة، وتساوي °40 درجة.
- الاحتمال الثاني: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب جـ أ؛ أي أن: أجـ = أب؛ فإنه يمكن إيجاد ∠ب أ جـ كما يلي: 40 + 40 + ∠ب أ جـ = 180 درجة، إذًا؛ فإن ∠ب أ جـ = °100 درجة.
- الاحتمال الثالث: إذا كانت ∠ب أ جـ = ∠ب جـ أ؛ ويعني أن: ب جـ = أب؛ فإن 40 + 2∠ب أ جـ = 180، إذًا؛ فإن ∠ب أ جـ = °70 درجة.
- هذا يعني أن هناك ثلاثة احتمالات لقياس ∠ب أ جـ وهي: °40، و°100، و°70 درجة.
الأسئلة الشائعة
فيما يلي بعض الأسئلة الشائعة التي تخص موضوع مساحة المثلث متساوي الساقين، والإجابات الخاصة به، لنكن بذلك قد وافيناكم بكافة تفاصيل موضوعنا لليوم.
كيف نحسب محيط مثلث متساوي الساقين؟
محيط المثلث القائم الزاوية ومتساوي الساقين= 2×طول الضلع+ الوتر.
ما هو القانون الخاص بارتفاع المثلث متساوي الساقين؟
الارتفاع=الجذر التربيعي لـ (مربع طول الساق-مربع طول القاعدة/4)، حيث: ع= (أ²-ب²/ 4)√.
ما هوعدد متوسطات المثلث متساوي الساقين؟
عدد المتوسطات هم 3 متوسطات.
ختامًا، هكذا قد تعرفنا إلى كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الساقين، وأوضحنا ذلك بالقوانين والأمثلة التي ذكرناها.
المصادر
الوسوم
- مساحة المثلث متساوي الساقين
- حساب مساحة المثلث متساوي الساقين
- صيغة مساحة المثلث متساوي الساقين
- ارتفاع المثلث متساوي الساقين
- مساحة المثلثات في الهندسة
- كيفية حساب مساحة الأشكال الهندسية
- براهين هندسية حول المثلثات