يتزايد البحث عن موضوع ما هو المعكوس الجمعي من قِبل طُلاب المدارس وخاصةً الصف السادس الابتدائي، وذلك لمعرفة ما هو وكيفية الحصول عليه بسهولة، والمعكوس الجمعي هو رقم تتم إضافته إلى رقم آخر ليُصبح المجموع الكلي صفرًا، ويُعد المعكوس الجمعي أحد الخواص الجمعية المعروفة لعملية الجمع، وفيما يلي سوف نتعرف بمزيد من التفاصيل عن ما هو المعكوس الجمعي وكيفية حساب المعكوس الجمعي؟ بالإضافة إلى معرفة باقي الخواص الجمعية، إلى جانب التعرف على المعكوس الضربي للأعداد.
ما هو المعكوس الجمعي
ما هو المعكوس الجمعي، أو كما يُسمى النظير الجمعي أو المعاكس الجمعي أو المقلوب الجمعي، وهو نفس الرقم الموجود مع عكس الإشارة الخاصة به، أي هو الرقم الذي إذا تم جمعه مع الرقم الأصلي كان المجموع صفر، فإذا كان الرقم الأصلي موجبًا كان المعكوس الجمعي له سالبًا، مثل المعكوس الجمعي للعدد 7 هو -7، والرقم 3 يكون المعكوس الجمعي له -3، و-8 المعكوس الجمعي له 8، ويكون المعكوس الجمعي للعدد 2 هو -2، ومن الأمثلة في حالة الكسور 9/8 يكون المعكوس الجمعي له -9/8، وفي حالة الأعداد العشرية 8.5 يكون المعكوس الجمعي له -8.5
ويُمكن تطبيق هذه القاعدة في ممارساتنا اليومية، فمثلاً لو كان هناك وعاء يحتوي على ماء في درجة حرارة الغرفة العادية، وقمنا بإضافة لتر ماء ساخن إليه، فعندها سوف تزداد درجة حرارة الماء في الوعاء، ومن ثمّ عند إضافة لتر آخر من الماء البارد إلى الوعاء سوف تؤثر على حرارة الماء الذي سبق وضعه وبالتالي سوف يلغي كل منها الآخر وتعود درجة حرارة الماء كما كانت مساوية لدرجة حرارة الغرفة.
وبالإضافة إلى ما سبق، سوف نطلع تاليًا على المعكوس الجمعي للأعداد المركبة، حيث تُثبت الخاصية الجبرية أنّ الأعداد المركبة لها معكوس جمعي، فمثلاً العدد المركب كما يلي Z = x + iy يكون معكوسه الجمعي هو -Z = -x – iy.
هل الصفر له معكوس جمعي؟ ولماذا؟ فيما يلي سوف نحصل على إجابة هذا السؤال والسبب في تلك الحالة.
ما هو المعكوس الجمعي للعدد صفر
من الجدير بالذكر أنّ جميع الأعداد الصحيحة والحقيقي. والكشريى والعقدية لها معاكس جمعي، بينما الأعداد الترتيبية والطبيعية فلها معكوس جمعي لأنّها لا تشمل الأعداد السالبة، لذا فإنّ كل عدد موجب له معكوس جمعي سالب، والعكس لكل عدد سالب معكوس جمعي موجب، ولكن ما هو المعكوس الجمعي للصفر؟ قرر علماء الرياضيات أنّه لا يُوجد معكوس جمعي للصفر بالمعنى المعروف المعكوس الجمعي، وذلك لكونه العدد المركب الوحيد الذي لا يُعد عددًا موجبًا أو سالبًا، وبهذا يكون المعكوس الجمعي للصفر هو الصفر نفسه 0+0=0.
وعلاوةً على ما سبق معرفته عن المعكوس الجمعي والذي يُعد أحد خصائص عملية الجمع، سوف نتعرف تاليًا على باقي الخصائص الأخرى للجمع، وهي كما يلي:
- خاصيّة الهويّة: ويُقصد بها أنّ ناتج جمع أي عدد مع الصفر يُساوي العدد الآخر دون زيادة أو نقص في القيمة، مثلاً 5+0=5، 0+17=17 وهكذا.
- الخاصيّة التجميعيّة: وتدل هذه الخاصية على أن نتيجة جمع مجموعة من الأرقام تظل ثابتة في حال تبديل أو تغيير ترتيب الأعداد داخل الأقواس، وكثيرًا ما تكون المجموعة مُكونة من 3 أعداد في صورة جـ+(أ+ب) = ب+(أ+جـ) = أ+(ب+جـ)، مثلاً 5+(7+3)= 15، 7+(5+3)= 15، 3+(7+5)= 15.
- الخاصيّة التبادليّة: وهي خاصية تعني أن نتيجة عملية جمع رقمين مُتساوية حتى في حال تغيير ترتيب الأرقام، فيكون ب+أ = أ+ب، مثلاً 20+5=25، 5+20=25
- خاصية الانغلاق في الجمع: وتعني أنّ عملية الجمع على خط الأعداد تكون نتيجتها على يمين العددين المُوجودان في عملية الجمع دائمًا، وذلك يعني أنّ عملية الجمع للأعداد الصحيحة تكون نتيجتها عدد صحيح أيضًا، وذلك يعني أنّ نتيجة الجمع دائمًا ما تكون أكبر من قيمة العددين المُستخدمان في العملية، مثلاً 5+3=8 فالثمانية أكبر من الثلاثة وأكبر من ال5 أيضًا.
- معكوس نتيجة عملية الجمع يُساوي نتيجة عملية جمع المعكوس الجمعي لكلا العددين، أي أنّ -(أ+ب) = (-أ)+(-ب).
ويختلف المعكوس الجمعي للرقم عن مرافق العدد المركب، وهو عدد يُساوي الجزء الحقيقي للعدد الأصلي ذاته، بالإضافة إلى أنّ له جزءً تخيلي يُساوي الجزء التخيلي للعدد الأصلي، ويكون التساوي خاص بالقيمة المُطلقة، بينما يختلفان في الإشارة، ومن الأمثلة على مرافق العدد المركب ما يلي: 2+7أ يكون مرافق العدد له 2-7أ.
وبعد أن تعرفنا على المعكوس الجمعي وكيفية الحصول عليه، سوف نطلع تاليًا على المعكوس الضربي للأعداد.
ما هو المعكوس الضربي للعدد 1
المعكوس الضرب هو مقلوب الرقم الأصلي، بمعنى أن نقوم بتبديل الأعداد الموجودة في البسط والمقام معًا، ليُصبح العدد في المقام هو رقم البسط والعكس، والهدف من ذلك أن يكون حاصل ضرب العدد ومعكوسه الضربي يُساوي واحد صحيح، حيث يُعتبر الواحد هو العنصر المحايد في عملية الضرب.
ولمعرفة كيفية الحصول على المعكوس الضربي للرقمٍ ما علينا قسمة 1 على الرقم المُراد تحديد المعكوس الضربي له، وفيما يلي سوف نحصل على بعض الأمثلة على المعكوس الضربي، مثل:
- المعكوس الضربي للرقم 5 هو ⅕.
- المعكوس الضربي ل 8/5 هو ⅝.
- المعكوس الضربي ل -4 هو -¼.
- المعكوس الضربي للعدد 65 هو 1/65.
وبذلك يكون الفرق بين المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي كما يلي:
- تتم إضافة المعكوس الجمعي إلى الرقم الأصلي ليكون المجموع صفر، بينما يتم ضرب المعكوس الضربي في العدد الأصلي لتكون النتيجة 1 صحيح.
- للحصول على المعكوس الجمعي يتم تبديل إشارة العدد من سالب إلى موجب والعكس، في حين أنّ المعكوس الضربي يتم الحصول على عن طريق تبديل قيمتي البسط والمقام مع بعضهما البعض.
الأسئلة الشائعة:
تاليًا سوف نتعرف على بعض الأسئلة الشائعة عن ما هو المعكوس الجمعي.
ما هو الرقم الذي ليس له معكوس ضربي؟
الصفر، حيث يُمكن أن يكون 0=0/1، بينما يكون الناتج عدد غير محدد وغير نهائي إذا حاولنا الحصول على قيمة أي رقم مقسوم على صفر، لذا فإنّ الصفر لبس له معكوس ضربي.
ما هو المعكوس الجمعي للعدد 9؟
-9.
ما هو الجمع والضرب المعكوس للعدد 6؟
المعكوس الضربي هو ⅙، بينما المعكوس الجمعي هو -6.
ما هو المعكوس الضربي للعدد 2؟
½.
هل الهوية الجمعية هي المعكوس الجمعي؟
لا، فالهوية الجمعية لأي عدد تُساوي صفر.
وهكذا نكون قد عرفنا ما هو المعكوس الجمعي وكيفية الحصول عليه، كما تعرفنا على أمثلة تطبيقية من الحياة اليومية على المعكوس الجمعي، وإلى جانب ذلك تعرفنا على باقي الخواص الجمعية الأخرى لعملية الجمع مع بعض الأمثلة عليهم، وعلاوةً على ذلك عرفنا الفرق بين المعكوس الضربي والمعكوس الجمعي.
المراجع:
وسوم
- المعكوس الجمعي
- حساب المعكوس الجمعي
- مفهوم المعكوس الجمعي
- المعكوس الجمعي في الجبر
- أمثلة على المعكوس الجمعي
- خصائص المعكوس الجمعي
- المعكوس الجمعي للأعداد الصحيحة
- المعكوس الجمعي للأعداد الحقيقية
- المعكوس الجمعي في الهندسة
- المعكوس الجمعي في الرياضيات
ما هو المعكوس الجمعي
